第６回大学入試分科会研究協議会
日時 １０月１６日（金）16：30～20：30（研究協議18:00～20:30）
場所 東京都立小石川中等教育学校
参加者 １０名
内容
（１）茨城大学
（２）宇都宮大学
（３）明治大学
（４）首都大学東京
（５）慶應義塾大学
（６）早稲田大学
（７）東京医科歯科大学
（８）東京大学
（９）研究授業の指導案の検討
（10）その他
- 茨城大学：理［１］一次関数と指数関数の積。グラフを描き、y軸に平行な直線を軸に回転させた体積を求める。［２］ベクトルで表された条件式を満たす点の軌跡。［３］対数関数のグラフと二次関数のグラフに囲まれた面積の増減、極値。場合分け。
- 宇都宮大学：教育・工・農［１］確率。取り出した玉に書かれた数字の和と積を係数に持つ二次関数。［２］平面上の比が与えられたベクトル。内積。［３］連立漸化式、三項間漸化式。階差数列。［４］放物線と２本の接線とで囲まれた面積。［５］一次関数と指数関数の積。定積分関数、実数解の個数。［６］一次関数と三角関数の積。グラフとx軸とで囲まれた面積。
- 明治大学：理工［１］小問集合。(1)三角比。外接円、内接円、チャップルの定理。(2)剰余の定理。(3)いくつかのさいころを振るときの目の出方の確率。［２］点と直線。直線の方程式、面積比。［３］対称な点。軌跡。２つの曲線に囲まれた面積。
- 首都大学東京：理系［１］確率。正六角形の頂点を結んで出来る図形。［２］三角関数。二次関数に帰着、最大最小、解の配置。［３］分数関数と二次関数に囲まれた面積。［４］指数関数と三角関数の積。回転体の体積、級数。［５］空間ベクトル。三角形の面積。垂線の長さの最小値。［６］楕円に外接する長方形の面積の最大値。
- 慶應義塾大学：理工［１］三角関数のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積と回転体の体積。［２］２通りの解釈が可能な絶対値を含む方程式。［３］カントール集合。級数。［４］空間内の立方体とその正射影における点の座標、線分の長さ、面積。［５］袋から玉を取り出すときの確率と、その確率を係数とする数列の無限級数。
- 早稲田大学：理工［１］無理関数を含む分数関数。接線の長さ。アステロイド。［２］ペル方程式。整数の性質。不等式。［３］二次関数のグラフと直線で囲まれた面積。［４］Ｂが無作為に引いたカードに書かれた数を、Ａが無作為に引いた数より大きいか小さいかにより確定する確率。［５］軌跡の方程式。回転体の体積、曲面の面積。
- 政経［１］与えられた点を通る二次関数の決定。［２］空間ベクトル。正四面体の線分の長さ、面積。［３］帽子を受け取り再び配るとき、元の持ち主に戻るまたは戻らない場合の数。［４］階乗を用いた数列の和。
- 東京医科歯科大学：医［１］１からnまでの自然数が書かれたカードが、それぞれの数に対して２枚ずつ、合計２n枚ある。この中からカードを無作為に選んだとき、数がすべて異なる確率。ガウス記号。［２］絶対値を含む三次関数の最大値の取り得る範囲。［３］ラメ曲線。媒介変数。回転体の体積。
- 歯［１］医と(1)(3)が同じ。(2)最大のものを選ぶ。［２］医と(1)が同じ。(2)文字に数が与えられている。(3)最大値から関数を求める。［３］医と同じ。
- 東京大学：理科［１］二次関数の通過領域。［２］確率。さいころを投げ、出た目によって文字列を作る。［３］高次関数と対数関数が１点のみを共有するときの回転体の体積。［４］３項間分数漸化式。［５］整数問題。組み合わせの総数が偶数となる最小の数。［６］三角関数、対数関数の積分、はさみうち。
- 文科［１］命題の真偽。三次方程式の整数解。条件つき不等式。［２］条件を満たす点の存在範囲。［３］３つの条件で定まる２つの円の半径を用いた一次式の最小値。［４］理科［２］の類問。コインを投げる。
- 研究授業の指導案の検討：気づいたことを指摘し合った。次回の研究協議でまとめる。
- その他：次回は１１月１３日（金）を予定。次回は研究授業の指導案の検討を主に行う。時間があれば、本年度の研究集録の目次と担当者を決める。時間がない場合は、１２月の初旬に行う。
第５回大学入試分科会研究協議会
日時 ９月２５日（金） 16：30～20：30 （研究協議18:00～20:30）
場所 東京都立小石川中等教育学校
参加者 １４名
内容
（１）津田塾大学
（２）埼玉大学
（３）東京学芸大学
（４）千葉大学
（５）群馬大学
（６）東京農工大学
（７）研究授業の指導案の検討
（８）その他
- 津田塾大学：学芸(数学)［１］小問集合。(1)a1～anを用いた関係式からanを求める。(2)n次多項式の微分係数の計算。［２］放物線と直線の交点の座標。放物線の２つの接線の交点。［３］正四角錐の辺の長さ、角の大きさ。［４］２曲線に囲まれた図形の面積。指数関数。分数関数。
- 埼玉大学：教育・経済［１］定積分、連立方程式。［２］空間四辺形におけるチェバ・カルノーの共面条件の証明。［３］連立分数漸化式。［４］サイコロ。三桁の数が４の倍数になる確率。
- 理・工［１］３項間漸化式。無限等比級数。［２］格子点を頂点とする正方形の個数。［３］四次関数とその接線との交点。［４］三角関数。定積分。最大・最小。
- 東京学芸大学：［１］四面体の４辺の内分点が同一平面上にある（チェバ・カルノーの共面条件）ときの位置ベクトル。［２］三角関数のグラフとx軸で囲まれる部分の面積の等分。［３］指数関数と対数関数の共通接線。［４］複素数平面と行列の選択。(ア)条件式を満たす実数の値の範囲。
- 千葉大学：［１］二重の絶対値を含む二次方程式。［２］３直角四面体。［３］正三角形の各辺の内分点を繋いでできた三角形の面積。［４］さいころを振り、６の目が出る回数の確率。［５］絶対値を含む三次方程式の実数解の個数。［６］整数剰余の証明問題。［７］二次方程式の実数解を底とする指数で表された数列。三項間漸化式。［８］コインを投げるゲームにおいて得る得点の確率。［９］双曲線の接線と漸近線で囲まれた面積。［10］三角関数の微分積分。［11］二次関数と対数関数の共通接線。［12］２つの円周上の点を結ぶ線分の中点の軌跡。カージオイド。［13］一次関数と三角関数の和の絶対値の最大最小。
- 群馬大学：理工・教育・社会情報［１］同じものを含む順列。［２］連立漸化式。ファレイ数列の中間数。［３］ベクトルの内積。［４］楕円の接線がx軸、y軸に切り取られる長さの最小値。［５］カテナリーの積分。［６］等差数列と等比数列。［７］三次関数の接線と法線。［８］絶対値を含む二次関数と直線で囲まれた面積。
- 医［１］ベクトルの内積。三次方程式。［２］連立不定方程式。［３］不等式の証明。指数関数を含む関数の最大最小。［４］無限級数。数列の一般項。［５］カテナリー。回転体の体積。
- 東京農工大学：［１］空間ベクトル。垂線の長さ。［２］反復試行の確率。無限級数の計算。［３］指数関数と四次関数の積で表された関数の最大最小。［４］絶対値と定積分を含む関数。
- 研究授業の指導案の検討：数学Ａ「場合の数と確率」の第８時で「反復試行の確率」の２時間目。公式の説明と簡単な演習は終わっている。本時では最初に前時の復習をした後、「優勝する確率」を題材に、理解を深める学習を行う。大学入試分科会では、研究協議の多くの時間を入試問題の検討に割いているが、入試問題を解くことだけが目的ではない。入試問題を通して、数学においてどのような力を付けさせるのか、大学側はどのような生徒を求めているか等の考察を行い授業に反映させている。今回の研究授業では「言語活動」に重点を置き、生徒が自分の考えを書き、自分の言葉で表現することを目標とする。
- その他：次回は１０月１６日（金）を予定。次回までの内容をもとに、１１月の分科会で本年度の研究集録の目次と担当者を決める。研究授業の指導案も検討する。
第４回大学入試分科会研究協議会
日時 ７月２４日（金） 14：00～17：00
場所 東京都立戸山高等学校
参加者 ９名
内容
（１）明治学院大学
（２）横浜市立大学
（３）筑波大学
（４）東京海洋大学
（５）電気通信大学
（６）その他
- 明治学院大学： 社会・法・国際・心理［１］小問集合。(1)円柱の上底面と下底面の点を結ぶ距離の最小値と最大値。本年度の一橋[4]が同様の出題。穴埋めなので答えはすぐに分かるが証明は難。(2)三角関数の最大最小。(3)２進法。［２］線分上および領域内の格子点の個数。
全学部［１］小問集合。(1)不定方程式。(2)剰余の定理。(3)平面ベクトル。［２］部分集合の個数。
経済・社会・法［１］常用対数。(2)空間ベクトル。(3)オイラーのトーシェント(φ)関数。［２］２つの放物線で囲まれた面積。
文・経済・国際・心理［１］小問集合。(1)場合の数（サイコロ）。(2)剰余の定理。(3)二次関数の最大最小（置換）。(4)対数の計算。［２］三次関数の最大値（係数が三角関数）。
文・経済・心理［１］(1)３つの頂点すべてが格子点である正三角形は存在しないことの証明。(2)漸化式。(3)円周上の点を結ぶ線分が交わらない確率。［２］三次関数の増減。 - 横浜市立大学：医［１］小問集合。(1)確率漸化式。(2)デカルトの正葉線、問題文中に面積公式を定義。(3)ベクトルの内積。(4)(等差)2×(等比)数列の和。［２］(1)外心の存在証明。(2)(3)３点を通る円が残りの点を内部に含まないことの証明。［３］カルダノの公式によって出てきた式の値を求める問題。(1)マクローリン展開を用いた近似値の計算。(2)三次方程式を利用して、式の値を求める。［４］数列の和(Σ計算)を用いた分数式の最小値。
- 筑波大学：［１］オペレーションズリサーチを用いた、条件付き最大値・最小値の問題で(1)(2)は(3)の誘導。［２］半径１の円を内接円とする二等辺三角形の面積の最小値。［３］整数を文字係数とする二次方程式の２つの解を用いた数列。三項間漸化式、ガウス。［４］カテナリーを真数とする対数関数の接線、微分積分学の基本定理。［５］３つの三角関数のグラフの交点と面積。［６］複素数平面、円の方程式、純虚数。
- 東京海洋大学：海洋工［１］ベクトルの漸化式で表された座標平面上の点列。［２］平面ベクトル。三角形、交点の位置ベクトル、面積比。［３］放物線の曲線外の点から引かれた２つの接線および２つの接点を通る直線の幾何的性質。［４−１］四次関数のグラフと２点で接する接線とで囲まれた面積および、接線の本数。［４−２］指数関数を含む積分方程式。
- 電気通信大学：［１］三角関数を含む関数の接線、極値、面積、回転体の体積。［２］指数関数を含む２つの関数の大小関係、増減、面積。［３］いずれも無理関数を含む分数関数と対数関数の極限値、増減、面積、回転体の体積。［４］等差数列の積で定まる数列の性質。階差数列、部分分数分解、いくつかの項を与えられたときの一般項、無限級数の和。
- その他：例年通り８月は行わない。次回は９月２５日（金）を予定。１１月の研修会で研究授業を行うので、９月の研究協議から指導案の検討を行う。
第３回大学入試分科会研究協議会
日時 ６月２６日（金）16：30～20：30（研究協議18:00～20:30）
場所 東京都立小石川中等教育学校
参加者 ８名
内容
（１）立教大学
（２）東京工業大学
（３）その他
- 立教大学：理［１］小問集合。(ⅰ)空間ベクトル、ベクトルの内積。(ⅱ)絶対値を含む一次不等式。(ⅲ)整式の割り算、剰余の定理。(ⅳ)指数関数・対数関数の極限。(ⅴ)和事象の確率。(ⅵ)三角関数の積分の最大最小。［２］等比数列の和。(ⅰ)無限等比級数の計算。(ⅱ), (ⅲ)与えられた条件式を用いて文字の値を求める。(ⅳ)分数関数の増減。［３］２つの放物線に接する直線。(ⅰ)接線の方程式。接点を文字でおいて係数を比較するか、判別式を用いる。(ⅱ)接点の座標。(ⅲ)内分点の座標。(ⅳ)内分点の存在範囲。［４］４次関数と直線。(ⅰ)共有点の個数、定数分離。(ⅱ)共有点の座標。(ⅲ)y軸回転体の体積。(ⅳ)体積の最小値。計算量が多くならないように配慮されている。
- 東京工業大学：［１］分数漸化式。(1)一般項の計算。推測して数学的帰納法で証明した答案が多かったとのこと。この程度の漸化式は解けるようにしておきたい。(2)不等式の証明。(3)極限値の計算、はさみうちの原理。［２］四面体の体積。底面の△OBCが正三角形(一定)なので、高さAH’が最大のとき体積が最大値となる。空間ベクトル、四次関数（複二次式）の最大値。［３］指数関数の回転体。(1)回転体の体積、逆関数を使うか、バームクーヘン法。(2)回転体の切り口の面積。(3)不等式の証明。［４］速度ベクトル、媒介変数表示。(1)ベクトルのなす角。(2)不等式の証明。［５］整数の性質。(1)最小公倍数と最大公約数の比。(2)等式の証明、素数、互いに素。(3)mの約数である素数の個数。
- その他：本年度の連携研修の第３回目、「第85回授業研究」は11月26日(木)に第三商業高校で行う予定。来月の大学入試分科会は１７日(金)か、２４日(金)の予定。他に、数学Bの「確率分布と統計的な推測」、期待値の扱い、確率のベイズ理論などについて議論した。
第２回大学入試分科会研究協議会
日時 ５月２２日（金）16：30～20：30（研究協議18:00～20:30）
場所 東京都立戸山高等学校
参加者 １２名
内容
（１）横浜国立大学
（２）東京理科大学
（３）日本医科大学
（４）総会後の研究発表
（５）その他
- 横浜国立大学：理工［１］(1) 定積分の計算、置換を２回用いる。横国では頻出。(2) 不等式の証明。微分の利用。［２］平面ベクトル、円に内接する三角形。(1) ベクトルの内積と大きさの計算。(2) 内分点。(3) 線分比から面積比。［３］通過領域、２次方程式の実数解の存在条件を使うかファクシミリの原理。(1)はどちらでも変わらないが、(2)はファクシミリの原理が速い。［４］２個以上の連続する自然数の和で表せる自然数。(1) ２つの文字を用いて不定方程式を作る。(2) ２の累乗が２個以上の連続する自然数で表せないことの証明。(3) ２つの数の積であることに着目して場合分け。［５］三角関数を被積分関数とする定積分を用いた不等式を満たす確率。
- 東京理科大学：薬［１］３次方程式が実数解を持つ条件。［２］三角比、円に内接する四角形の面積。(4) 円に内接する四角形が、ある円に外接する。「2つの円が与えられ，それぞれの円に内接，外接するn角形が1つ存在すれば，そのようなn角形は無数に存在する」というのはポンスレの閉形問題（定理）。昨年度の早稲田大学、1988年度の名古屋大学などで出題されている。［３］取り出した２枚のカードの数字を座標とする点と与えられた四角形との距離。［４］放物線と直線で囲まれた面積。［５］k≦r≦n－kを満たすすべての自然数r に対してnCrが偶数である確率。
- 日本医科大学：［Ⅰ］問１ランダムウォーク、正三角形の頂点を移動する点。問２オペレーションズリサーチ、放物線と直線で囲まれた領域、最大最小。［Ⅱ］区分求積、問３置換積分。［Ⅲ］放物線と直線で囲まれた領域の回転体の体積。問１x軸回転。問２原点を通る斜軸回転。問３体積比。
- 総会後の研究発表：昨年度の研究集録の「不等式」の部分を加筆訂正したもの。出席者全員で協議・確認した。
- その他：５月２３日(土)は総会および研究発表会、５月２４日(日)は大学入試懇談会がある。来月の大学入試分科会は１９日(金)か、２６日(金)の予定。
第１回大学入試分科会研究協議会
日時 ４月２４日（金）16：30～20：30（研究協議18:00～20:30）
場所 東京都立小石川中等教育学校
参加者 １２名
内容
（１）成蹊大学
（２）中央大学
（３）一橋大学
（４）京都大学
（５）その他
- 成蹊大学 ： 理工［１］小問集合。[1]ベクトルの内積。[2]優勝する確率。[3]円に内接する四角形、ブラーマグプタの公式、トレミーの公式。［２］放物線と接線とx軸に垂直な直線とに囲まれた面積。面積は等比数列になる。［３］３次関数、３次方程式の解と係数の関係。(2)異なる３つの実数解をもつことを示す場合どこまで示せばよいか。単に極大値が正で極小値が負であればよいか。数Ⅲなら中間値の定理までか。［４］指数関数と三角関数を含む関数の増減と面積。
- 中央大学： 経済［１］小問集合。(1)因数分解。(2)指数関数を含む不等式。(3)同じものを含む順列。(4)指数関数、対数関数。(5)導関数。(6)定積分。［２］確率漸化式。［３］絶対値を含む関数の最大最小。理工［１］定積分の計算、極限値。［２］複素数の累乗計算、無限級数の収束。［３］直線と双曲線および漸近線との交点を結ぶ線分の長さ。［４］関数の増減、極値、グラフの概形、曲線と接線およびx軸、y軸で囲まれた面積。
- 一橋大学：［１］オイラーのトーシェント関数（φ関数）の性質。［２］条件を満たしながら動く点の軌跡と面積の取り得る値の範囲。［３］正n角形の頂点を結んで出来る２つの直線が平行になる確率。偶奇で対称軸の本数が異なる。正多角形を題材にした問題は本年度多くの大学で出題された。円に内接する三角形と弦の長さの関係を扱ったものにベルトランの逆説がある。［４］空間内の２つの円周上の点を結んだ線分の最大値と最小値。［５］[Ⅰ]周期関数で表された数列の和。[Ⅱ]文字で与えられたデータの分散、標準偏差、相関係数。[Ⅰ]、[Ⅱ]の選択。選択ではあるがデータの分析が出題された。
- 京都大学：理［１］三角関数のグラフで囲まれた領域の回転体の体積。交点を求める所はどこまで説明を求められるか。［２］円に外接する四角形の面積の最小値。90°の位置で場合分け。［３］指数関数およびその接線とx軸との２つの交点を結ぶ線分の長さの極限値。長さが一定であるという設定の問題がドゥ･ボーヌの問題である。［４］正四面体の頂点と辺上の２点を結んで出来る角の余弦の最大値。四面体は頻出。［５］２つの整式で作られる分数関数が、すべての整数に対して整数の値をとるための条件。階差が定数になる。基本通りの変形。［６］確率漸化式。２進数で表すと見通しが良くなる。2013年度の京大で同様の問題が出題されている。本年度の東大の理系第５問も２進数を背景にしたと思われる出題であった。
- その他：次回は４月２２日(金)に戸山高校で行う予定。５月１２日(火)に理事会、５月２３日(土)に総会が開催予定。５月２４日(日)は大学入試懇談会。
